两个底半径相等的圆柱体 正交后 公共部分的体积

Question

请问应该用二重积分 还是三重积分

按理说 体积应该用三重积分 但是又不涉及不匀密度

我主要想知道思路 有结果更好

我会计算 并且知道对称性

望高人解答 不胜感谢 复制党 糊弄党 自重

Answer 1

因为密度是均匀的，不用三重积分，

设两个圆柱面，其一x^2+y^2=R^2,母线和Z轴平行，其二x^2+z^2=R^2,母线和y轴平行,,

考虑对称性，只计算第一卦限，再乘以8即可，

在第一卦限上，在XOY平面投影D为1/4圆，x^2+y^2=R^2,在XOZ平面也是1/4圆，而在YOZ平面投影是正方形，

V=8∫[D]∫√（R^2-x^2)dxdy

=8∫[0，R]dx∫[0，√（R^2-x^2)]   dy

=8∫[0，R] [0，√（R^2-x^2)] √（R^2-x^2)  y dx

=8∫[0，R](R^2-x^2)dx

=8(R^2x-x^3/3[0,R]

=8(R^3-R^3/3)

=16R^3/3. 

 

 

也可用一元函数积分作，设圆柱面x^2+y^2=R^2和圆柱面x^2+z^2=R^2垂直相交，

在第一卦限内，公共体部分在YOZ平面上投影是正方形，在平行于YOZ平面上可以切出无数正方形“薄片”，边长分别为φ（x)=√（R^2-x^2),ψ(x)=√（R^2-x^2)

面积S(x)=φ（x)*ψ(x)=R^2-x^2,

∴V=8∫[0，R]（R^2-x^2)dx

=8（R^2x-x^3/3)[0,R]

=8(R^3-R^3/3)

=16R^3/3.