两个底半径为R的圆柱体，其中心线垂直且相交，求相交部分体积？

Question

如题所述

Answer 1

设圆柱面x^2+z^2=R^2,x^2+y^2=R^2,利用对称性,只求第一卦限部分,然后乘以8即可,
在XOY平面投影是圆x^2+y^2=R^的第一象限部分,被积函数为z=√（R^2-x^2)
V=8∫∫[Ω]√√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]∫[0,√（R^2-x^2)]√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]∫[0,√（R^2-x^2)]√(R^2-x^2)ydx
=8∫[0,R](R^2-x^2)dx
=8(R^2x-x^3/3)[0,R)
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.

Answer 2

由[中心线垂直且相交]不难分析出，它们相交的体积就是一个半径为R的球体。再利用球体的体积公式就可以解决。

Answer 3

三分之四×π×R的立方

Answer 4

16R^3/3