证明数列收剑时，什么情况适用将数列转化为函数，用倒数>0或<0来判断函数的单调性，什么情况不适用？

Question

证明数列收剑时，什么情况适用将数列转化为函数，用倒数大于0或小于0来判断函数的单调性，什么情况不适用？例：Xn+1=ln(1+Xn) 其中X1>0,为何不适用函数倒数大于0，证明函数单调上升，而此函数却偏偏是单调下降的。

Answer 1

很多的已知通项公式的数列都可以通过转化为函数，借助导数来判断数列的单调性。有些函数单调性会发生多次变化，但是数列取的是整数，可能会发生单调性的变化，这是一方面。另一方面有些数列化成函数求导也很复杂，所以借助导数来判断单调性也就不适用了。求解数列单调性可以通过比较Xn与Xn+1大小来确定，或者在判断正项数列单调性是用Xn/Xn+1与1的大小来确定。
至于这个例子，提问者有个误区，给的是递推公式 不是通项，所以你求导出来>0也不能说明什么。这样判断，Xn+1-Xn=ln(1+Xn)/Xn,而（1+Xn）^(1/Xn)<e,所以Xn+1-Xn<0，单调递减。

Answer 2

函数时无数的点，而数列只是a1 a2 a3等点，如果函数满足单调性则数列一定满足，若函数不满足单调性，数列不一定不满足