什么是凹函数？

Question

如题所述

Answer 1

凹函数是指在向量空间中的某个凹子集C（通常是一个区间I）内，定义了一个实值函数f。这个函数的特性在于，对于区间I上的任意两点X1和X2，以及任意0到1之间的实数λ，都有一个不等式成立：f(λX1 + (1-λ)X2) 小于或等于 λf(X1) + (1-λ)f(X2)。这种性质表明，函数的图形在连接任意两点的线段下方，形成一个凹陷的形状。要判断一个函数是否为凹函数，通常会用到定义法、已知结论法，或者更直观的是检查其二阶导数。如果函数在区间上的二阶导数恒为正，那么它就被定义为凹函数，因为这表明函数曲线上每一点的切线斜率随点的靠近而增大，形成凹陷的图形。