正定矩阵的判定方法

Question

如题所述

Answer 1

正定矩阵的判定方法如下：

1、矩阵是几阶，就求几个顺序主子式，并得到相应的值，如果所有值都大于0，则该矩阵是正定矩阵。顺序主子式定义如使用方法举例：判断三阶矩阵是否为正定矩阵，需要求出三个顺序主子式的值，并分别和0进行比较，若都为正数，则矩阵是正定矩阵。

2、判别依据：求出矩阵A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的。求特征值方法：tE-A=求解出所有值，即为知阵A的特征值。E为只有左上右下对角线为1，其余皆为0，且阶数和矩阵A相同的矩阵。

3、对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：

1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。