实对称矩阵的特征向量相互正交？为什么

Question

如题所述

Answer 1

应该说是：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的。

设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵，m,n为其不同的特征值，p,q分别为其对应得特征向量.

则p1(Aq)=p1(nq)=np1q

(p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q

因为p1(Aq)= (p1A)q

上两式作差得：

(m-n)p1q=0

由于m不等于n,所以p1q=0

即(p,q)=0,从而p,q正交.

说明：p1表示p的转置，A1表示A的转置，(Ap)1表示Ap的转置

扩展资料

同一特征值的特征向量的线性和（非0）也为该特征值特征向量，特征值3可以有两个不共线特征向量，从上面一句看出，可以有正交的两个特征向量。

实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

Answer 2

任何非零向量都是单位阵的特征向量，如果你的标题成立，那么任何非零向量都正交，这显然是错的

当然，只要改成“实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交”就对了，直接用定义证明本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

　　1、书上的基本定理肯定是没问题的；
　　2、a,b分别是A的特征值-2,2的对应的特征向量
a,b是B特征值为1的特征向量。
　　对任意 k1,k2 ∈ R
令 c = k1a + k2b
Bc = B(k1a + k2b)= k1*Ba + k2*Bb = k1a + k2b = c
因此不能将 (1,1,0) , (-1,0,1)分别当成是 a，b。

Answer 4

可以验证啊！设矩阵P的特征向量为列向量，则一定有 PᵀP＝对角阵；若矩阵P的特征向量为行向量，则有 PPᵀ＝对角阵。PᵀP也好，PPᵀ也好，这不是问题本质，本质是【向量点积的矩阵表述＝行向量·列向量＝常数】。若二个向量正交，自己点自己(θ＝0°)＝常数，自己点对方(θ＝90°)＝0。引伸至特征向量矩阵的正交性验证＝行向量矩阵·列向量矩阵＝对角阵。无论是PᵀP 还是PPᵀ，前一个必须是行向量矩阵，后一个必须是列向量矩阵一一这才是要害。注意: 列向量矩阵·行向量矩阵＝普通矩阵(n×n) ≠ 对角阵。