设λ1，λ2是两个A的不同特征值，α1，α2分别是其对应的特征向量；
根据特征值和特征向量的定义有A * α1 = λ1 * α1，A * α2 = λ2 *α2；
分别取转置，以及两边右乘α2和α1，得α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2，α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1 ；
两式相减并，得到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2 ；
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0；
又因为λ1 - λ2≠ 0；故 α1' * α2 = 0；所以有α1与α2 正交。
扩展资料：
实对称矩阵的主要性质：
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
对称矩阵的性质：
1、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
2、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
3、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
4、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。