一道高等数学

Question

一道高等数学证明一个分段函数只有一阶导数。
如图，简化到这里就不知道如何下手了。一阶导数我也求了，求出来已经是比较复杂了，再求二阶导运算量太大了。感觉方法不对。

Answer 1

明显不是求导来算的呀，要用导数的定义。
首先证明函数在x=0处连续：lim x→0 时f(x)是0/0型极限，洛必达法则分式上下同求导，或者使用等价无穷小代换，(1+x)^(1/2)-1 ～ 1/2 x，上下约x，得lim x→0 f(x)=1/2，即f(x)在x=0处连续。
然后证明函数一阶导数存在，f(x)在x=0处导数的定义是：f'(0)=lim x→0 [f(x)-f(0)]/x 存在，带入，有lim x→0 {[√(1+x)-1]/x-1/2}/x，洛必达化简，具体你自己算吧，我手边没有纸笔，算出来极限存在，即在x=0处导数存在。

然而证明函数二阶导不存在，把f(x) 在x≠0的部分求导算出f'(x)，带0进去，发现与上一步算的f'(0)不相等，即f'(x)在x=0处不连续，即得f''(0)不存在