(1)
设t=π - x
dt = -dx
代入得
I = ∫ (π-t) f(sin(π-t)dt = ∫ πf(sint)dt - ∫ tf(sint)dt = π∫f(sint)dt - I积分限都是[0,π]
所以 I = π/2∫f(sint)dt
(2)由于后面的积分是一个常数,设积分结果为C
那么
f(x) = x/(1+cos^2x) + C
x/(1+cos^2x) * sinx是一个偶函数
Csinx是一个
奇函数所以方程可以写成
C = 2∫xsinx/(1+cos^2x) dx积分限为[0,π]
设f(x) = x / [2-x^2]
那么f(sinx) = sinx / (2-sinx^2) = sinx / (1+cos^2x)
利用结论得
C = π∫ sinx / (1+cos^2x) dx = -π∫ 1/(1+cos^2x)dcosx = -π * [arctan(cosx)] = π^2/2
所以f(x) = x/(1+cos^2x) + π^2/2
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