证明：设n阶矩阵A的每行元素绝对值之和小于1,则矩阵A的特征值的绝对值小于1

Question

如题所述

Answer 1

这个证明有种比较简单的想法.
假如在n维线性空间上的某种范数‖‖下我们证明了‖AX‖<‖X‖对任意非零向量X成立.
则对任意特征值λ, 存在属于λ的特征向量X, 即有AX = λX (严格来说这里有点问题, 后面再说).
代入得‖X‖>‖AX‖=‖λX‖=|λ|‖X‖, 于是就能证明所要的|λ|<1.
对本题来说, 范数‖‖可取为max{|x_k|}, 即各分量绝对值的最大值, 得到如下证明.
对非零向量X, 向量Y=AX有y_i=a_i1*x_1+a_i2*x_2+...+a_in*x_n.
|y_i|≤|a_i1|*|x_1|+|a_i2|*|x_2|+...+|a_in|*|x_n|≤(|a_i1|+|a_i2|+...+|a_in|)*max{|x_k|}于是max{|y_k|}<max{|x_k|}. 该不等式对所有非零复向量都成立.对A的任意特征值λ, 存在复特征向量X≠0, 满足AX=λX.
由上述不等式, |λ|*max{|x_k|}=max{|λ*x_k|}<max{|x_k|}, 于是|λ|我们证明的结论中A可以是复矩阵, 特征值也包含所有复特征值.
当讨论的是实矩阵的复特征值时, 需要到复数域里找特征向量.
这就是前面说到的问题, 但是我们的范数不等式对复向量也适用, 因此不影响得到结果.

Answer 2

设b是矩阵A的任一特征值，X为相应的特征向量，则AX=bX。由向量范数、矩阵的相容性得，
|b| ||X||=||bX||=||AX||<=||A|| ||X||, 即b<=||A||。
其中||A||可以是任何一种算子范数（行范数、列范数、2-范数），矩阵A的行范数就是A的每行元素绝对值之和的最大值。