一道数学分析题~关于一致收敛

Question

如题所述

Answer 1

首先, 为了使级数在x = 0处收敛, 至少需要α > 0.
易见此时级数在x = 0处收敛到0.
对任意x > 0, ∑{1 ≤ k} x^α·e^(-kx²) = x^α·∑{1 ≤ k} e^(-kx²)收敛到x^α/(e^x²-1).
因此α > 0时, 级数的和函数为: 当x > 0时, f(x) = x^α/(e^x²-1); f(0) = 0.

当α ≤ 2时, 可求得lim{x → 0+} f(x) = lim{x → 0+} x^α/(e^x²-1) ≠ 0 = f(0), 故f(x)不连续.
于是级数在[0,+∞)上不是一致收敛的(否则由级数各项连续, 和函数也必须连续).
以下证明α > 2时, 级数在[0,+∞)上一致收敛.

通过求导不难得到: 对α > 0, x^α·e^(-kx²)在x = √(α/(2k))处取得[0,+∞)上的最大值.
有0 ≤ x^α·e^(-kx²) ≤ (α/(2ek))^(α/2) = C/k^(α/2), 其中C = (α/(2e))^(α/2)是与k无关的常数.
当α > 2时, 级数∑{1 ≤ k} C/k^(α/2)收敛.
于是, 根据Weierstrass判别法, ∑{1 ≤ k} x^α·e^(-kx²)在[0,+∞)一致收敛.

综上, 使∑{1 ≤ k} x^α·e^(-kx²)在[0,+∞)一致收敛的实数α的取值范围是(2,+∞).

注: 如果学过Dini定理, 过程可以更简单.
首先, 当k ≥ α/2, x^α·e^(-kx²)在[1,+∞)单调递减 (求导证明),
可知对任意x ≥ 1, 成立0 ≤ x^α·e^(-kx²) ≤ e^(-k).
由∑{1 ≤ k} e^(-k)收敛, ∑{1 ≤ k} x^α·e^(-kx²)在[1,+∞)一致收敛(Weierstrass判别法).
因此∑{1 ≤ k} x^α·e^(-kx²)在[0,+∞)一致收敛当且仅当其在[0,1]一致收敛.
根据Dini定理, 这等价于其和函数f(x)在[0,1]连续,
进而等价于lim{x → 0+} x^α/(e^x²-1) = 0.
计算极限知α的取值范围是(2,+∞).