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闭区间上可导函数的导函数连续
导函数
有第一类间断点,原函数一定
连续
吗?为什么?谢谢回答
答:
导函数的
左右极限存在,根据导数极限定理可以知道原函数在定义域
上可导
,可导必定
连续
,所以原函数是连续的。如果f(x)在(a,b)
内可导
,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在
闭区间
[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上
的导函数
,简称导数。若将一点扩展成函数f(x)在其...
为什么有第一类间断点的
函数
无原函数却有积分?
答:
在某个
区间上可导的函数
,
其导函数
在该区间上没有第一类间断点。可以通过拉格朗日中值定理证明上述定理(又叫做
导函数连续
定理):若f(x)在x0的某个邻域U(x0;δ)
内连续
,在该去心邻域U°(x0;δ)上可导,且lim(x→x0)f'(x)存在,则f(x)在x0处也可导,并有f'(x0)=lim(x→x0)f'(...
原
函数可导
为什么
导函数
不一定
连续
?
答:
原
函数可导
,
导函数
不一定
连续
。举例说明如下:当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);当x=0时,f(x)=0 这个函数在(-∞,+∞)处处可导。
导数
是f'(x):当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);当x=0时,f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->...
函数
在定理域上一点
可导
,那这点一定
连续
吗?
答:
如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是
连续函数
。
函数可导
定义:(1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。(2)若对于
区间
(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)
上可导
。
如何证明
连续函数的可导
性?
答:
1、证明函数在整个
区间内连续
。(初等函数在定义域内是连续的)2、先用求导法则求导,确保
导函数
在整个区间内有意义。3、端点和分段点用定义求导。4、分段点要证明左右
导数
均存在且相等。如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处
可导
。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是...
可导
必可左可右,可去必间断吗?
答:
函数
在某一点的左右
导数
相等,那么在这一点不一定是
可导
。例如,可去间断点:左极限和右极限存在且相等但是该点没有定义。给定一个函数f(x),对该函数在x0取左极限和右极限。f(x)在x0处的左、右极限均存在的间断点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点,称...
为什么在一个
区间上导函数
分段
连续
并且有界则原函数必连续
答:
对的.因为一个函数 F(x) 在
区间上可导
,则 F(x) 必在该区间上
连续
,而不用管
导函数
是否分段连续并且有界.
用拉格朗日中值定理证明当x>1时,e∧x>ex
答:
g(x)=e^x-ex,g(x)在[1,x]
连续
,在(1,x)
可导
,所以由拉格朗日中值定理存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1),e^w-e=(e^x-ex)/(x-1),即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e),此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0,即e^x-ex>0;e^x>ex成立。
为什么
函数
在开
区间连续
但不一定
可导
?
答:
答案:因为闭区间左右两个端点不可导,所以第二个条件是开区间上可导,而不是
闭区间上可导
。解释:
函数
在某点可导,首先要保证函数要在该点处
连续
。这两个中值定理的第一个条件就已经给出了函数在闭区间上连续了。所以闭区间的两个端点是连续的。然后证明该点存在左右
导数
,并且左导数 = 右导数。然...
连续
是
可导的
什么条件?
答:
连续是可导的必要不充分条件。
连续的函数
不一定可导,可
导的函数
一定连续。函数在一点可导,推不出在点的领域
内可导
,例如f(x)=x^2, x是有理数;f(x)=0, x是无理数.可以验证在x=0点可导,但是x=0的领域都有不可导点。同理某点连续也推不出在领域
内连续
,但是能推出在某个小领域内有...
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