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证明2范数小于F范数
求解矩阵
范数
的
证明
问题
答:
2范数
总是 <=
F范数
的,当且仅当 rank(A)=1 时等号成立。用了两种方法 方法1:方法2:
酉不变范数,如何
证明2范数
最小
答:
容易验证,
2
-
范数
和
F
-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。 反过来可以
证明
,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系: 定理(Von Neumann定理):在酉不变范数和对称度规函数(symmet...
关于矩阵
2
-
范数
和无穷范数的
证明
答:
使用向量
2
-
范数
和无穷范数的如下不等式(
证明
都很容易):① ║X║_∞ ≤ ║X║_2,② ║X║_2 ≤ √n·║X║_∞.于是对任意向量X, 有:║AX║_∞ ≤ ║AX║_2 (由①)≤ ║A║_2·║X║_2 (由2-范数的定义)≤ √n·║A║_2·║X║_∞ (由②).再由无穷范数的定义...
2范数
与
F范数
有什么不同呢?
答:
2范数
和
F范数
是不同的。2范数表示矩阵或向量的最大奇异值,max(svd(X))而F范数表示矩阵所有元素平方和的开方根。矩阵的
f范数
计算公式是矩阵的核范数:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩—低秩)。矩阵A的2范数就是 A...
矩阵的谱半径、
2范数
与
F范数
答:
具体来说,如果我们将矩阵的谱半径与更常见的矩阵范数进行比较,如
2范数
和
F范数
,它们各自代表了不同的矩阵特性。2范数,也称为欧几里得范数,衡量的是矩阵列向量的最大长度,它揭示了矩阵在向量空间中的紧致度。而F范数则关注矩阵所有行或列元素的平方和的平方根,它在统计和信号处理领域中扮演着重要...
如何
证明2
向量
范数
与
f
矩阵范数相容
答:
矩阵的
F
-范数与向量的2-范数相容
证明
:这两种范数实际上是有非常紧密的联系的。一方面,矩阵的
2范数
是向量
二范数
对应的诱导范数。另一方面,向量范数可以认为是矩阵的诱导范数的特例,如果将长度为的向量视为一个的矩阵,会发现前者的向量范数是等于后者的矩阵范数的。
2
-范数和
F范数
的关系是什么?
答:
两者的关系是可以互相转换或相等。对于方阵AB,其
2范数
和
F范数
有如下的关系:1、2-范数,也就是A的2-范数,是A列向量组成的向量的模的最大值,它衡量的是A的列向量在欧几里得空间中的“大小”。2、而F-范数,全称是Frobenius范数,是方阵A的所有元素的平方和的平方根,它衡量的是A的所有元素在...
如何
证明
矩阵
2范数
和
F范数
的正交不变性
答:
F
-
范数
利用 ||A||_F^
2
=trace(A^TA) 来验证, ||PAQ||_F^2=trace(Q^TA^TAQ)=trace(A^TAQQ^T)=trace(A^TA)=||A||_F^2 2-范数用定义证, 利用 ||PAQx||_2=||AQx||_2, ||x||_2=||Qx||_2, 所以sup ||PAQx||_2/||x||_2=sup ||Ay||_2/||y||_2 (其中y...
如何
证明
矩阵
2范数
和
F范数
的正交不变性,谢谢
答:
矩阵
2范数
就是最大奇异值,设A=UDV^T,U V正交,则在A的左右两边乘正交阵后不改变奇异值,因此2范数不变。
F范数
是奇异值平方和的平方根,也没有变化。||A||_2^2=max{a:a是A*A的特征值},A*是A的共轭转置。注意到(Q1AQ2)*(Q1AQ2)=Q2*A*Q1*Q1AQ2 =Q2*(A*A)Q2酉相似于A*A...
如何
证明
矩阵
2范数
和
F范数
的正交不变性,谢谢
答:
矩阵
2范数
就是最大奇异值,设A=UDV^T,U V正交,则在A的左右两边乘正交阵后不改变奇异值,因此2范数不变。
F范数
是奇异值平方和的平方根,也没有变化。||A||_2^2=max{a:a是A*A的特征值},A*是A的共轭转置。注意到(Q1AQ2)*(Q1AQ2)=Q2*A*Q1*Q1AQ2 =Q2*(A*A)Q2酉相似于A*A...
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