设a＞b＞0，证明：（a-b）/a＜In（a/b）＜（a-b）/b

Question

请根据微分中值定理...

Answer 1

设 f(x)=lnx 在(b,a) 连续,且可导

由拉格朗日中值定理得:

f(a)-f(b)=f′(ξ)(a-b) ( b<ξ<a)

ln(a/b)=(a-b)/ξ

所以：（a-b）/a＜In（a/b）＜（a-b）/b

Answer 2

设y=f(x)=lnx,f'(x)=1/x
存在c∈(b,a), 使得(f(a)-f(b))/(a-b)=f'(c）=1/c.
1/a<1/c<1/b
化简即得