解答如下：
∫cscx dx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+C。
扩展资料：
余割为一个角的顶点和该角终边上另一个任意点之间的距离除以该任意点的非零纵坐标所得之商，这个角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，而其始边则与正X轴重合。
在直角三角形中，斜边与某个锐角的对边的比值叫做该锐角的余割.记作cscx。
余割与正弦的比值表达式互为倒数。
余割函数为奇函数，且为周期函数。
余割函数记为：y=cscx。
在直角三角形中，一个锐角∠A的余割定义为它的斜边与对边的比直角三角形值，也就是：
1、在三角函数定义中，cscα=r/y。
2、余割函数与正弦互为倒数：cscx=1/sinx。
3、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}。
4、值域：{y|y≥1或y≤-1}。
5、周期性：最小正周期为2π。
6、奇偶性：奇函数。
7、图像渐近线：x=kπ，k∈Z余割函数与正弦函数互为倒数）。
参考资料：余割函数-百度百科
∫cscx dx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+C,这是答案一
进一步化简:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C,凑出两倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+C
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C
=ln|cscx-cotx|+C,这是答案二
在 微积分中，一个函数 f 的 不定积分，或原函数，或反导数，是一个 导数等于 f 的 函数 F ，即 F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。
其中 F是 f的不定积分。根据 牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系，其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
本回答被网友采纳∫cscxdx
=∫cscx (cscx-cotx) / (cscx-cotx) dx
=∫1 / (cscx-cotx) d(cscx-cotx)
=ln｜cscx-cotx｜+C
以上方法可能有点已经被剧透了以后，有种“看着对方底牌出牌”的嫌疑，换句话说，就是知道答案凑答案。故，我不推荐这么做，所以：我给予第二种推法：
∫cscxdx = ∫ 1/sinx dx
= ∫ sinx / (sinx)^2 dx
= ∫ 1 / [1 - (cosx)^2] d(cosx)
= ∫ 1 / [(1 + cosx)·(1 - cosx)] d(cosx)
= 裂项 -1/2 ∫ ( 1/(1 + cosx) + 1/(1 - cosx)) dcosx
= 根据积分可加性分别积分 -1/2 (ln|1 + cosx| - ln|1 - cosx|) + C
= 1/2 ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= 1/2 ln|(1 - cosx)^2/(1 - cosx)| + C
= ln|(1-cosx)/sinx| + C
= ln|cscx - cotx| + C----------// 证毕！
不过现在都2202年了，计算机都这么发达了，这种问题交给计算机处理就可以了。下面，介绍一下，使用MATLAB，求不定积分。
（以下部分针对适合知道MATLAB是什么，怎么装和用的伙伴们）
我只给出代码：
% 求不定积分
close all; clear all; clc;
syms x;
func = csc(x);
res = int(func, x)
pretty(res)
（（cscx）^2+cotxcscx）/(cscx+cotx)的积分。注意分母的导数的负数就是分子！故显然，不定积分为-ln|cscx+cotx|+c
=∫sinxdx/sin²x
=∫d(cosx)/(cos²x-1)
=1/2∫[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]d(cosx)
=1/2[ln│cosx-1│-ln│cosx+1│]+C (C是积分常数)
=1/2ln│(cosx-1)/(cosx+1)│+C
=ln│(1-cosx)/sinx│+C
=ln│tan(x/2)│+C。