自动控制原理（7）奈奎斯特稳定性判据

Question

如题所述

Answer 1

自动控制原理（7）：奈奎斯特稳定性判据详解</

让我们首先探讨一个典型的反馈系统，通过设置为二阶系统，我们能够得到一个直观的模型：

化简后，我们有：

开环传递函数:</ G(s) 和误差输入关联，定义为 输入 = 误差 -> 输出 = H(s)左端, 未形成闭环
闭环传递函数:</ G(s) * H(s)

将极点 a 和零点 b 代入，我们可以观察到如下两个关键关系：

极点与闭环关系:</ G(s)H(s)的极点与1+G(s)H(s)的极点重合。
零点与极点关系:</ 的极点与 的零点相匹配。

柯西幅角原理</ 揭示了复数映射的有趣特性。例如，复数 F(s) 的作用类似于平移，零点使得幅角顺时针旋转，而极点则产生逆时针旋转。当零点和极点同时存在时，幅角的变化由两者相对位置决定。

通过具体例子，我们发现：

如果A曲线包含一个零点，B曲线将围绕原点顺时针旋转一圈。
如果A曲线包含一个极点，B曲线则逆时针旋转一圈。

进一步推导奈奎斯特判据，F(s) = 1 + G(s)H(s) 中，A曲线的极点与零点决定了B曲线绕原点的圈数。具体来说：

P 为开环极点数，Z 为闭环零点数，N 代表B曲线逆时针绕原点的圈数。
通过调整，将极点向左平移1个单位，N 变为绕点(-1,0)的圈数。

系统稳定性的一个关键条件是，闭环传递函数在复平面上的右半部分不能有任何极点存在</，即：

1 + G(s)H(s) > 0 对于所有实数s > 0。

回到我们的二阶系统，计算出的开环极点在复平面上分布清晰，无任何极点位于右半平面，这确保了系统的稳定性。