f(x)在（a,b)内连续且a< x1<x2<...<xn<b ,则在[ x1,xn]上必有点c，使得f(c)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ]/n

Question

【高等数学】设f(x)在（a,b)内连续且a< x1<x2<.......<xn<b ,则在[ x1,xn]上必有点c，使得 f(c)= [ f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ] / n

x1 中的1是x的下标1 一下都是，xn 中的n也是x的下标
/n 表示除以 n

Answer 1

取F(x)=nf(x)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))
f(X)在(a.b)上连续
(1)
当f(x)为常数时 任意的c属于[x1.xn] 该结论都成立
(2)
当f(x)不为常数时

f(x)在[x1.xn]上连续，由闭区间上的连续函数闭有最值
存在 f(p)=m<f(x) f(q)=M>f(x)
F(p)=nf(p)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nm-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定小于0
F(q)=nf(q)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nM-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定大于0
由零点定理可知道
必定存在c 在 [x1.xn] 使 F(c)=0

综上所述 必定有c 使F(c)=0
即证明
竟然有人在这问高数！
在电脑上打数学真辛苦啊……加点分吧，打了好久