若函数f(x)的微商f'(x)在[a,b]上连续,则必存在常数l>0,使|f(x1)-f(x2)|

Question

若函数f(x)的微商f'(x)在[a,b]上连续,则必存在常数l>0,使|f(x1)-f(x2)|<=l|x1-x2|

Answer 1

闭区间上的连续函数必有界，设|f'(x)|<=l，则根据拉格朗日中值定理有
(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=f'(x0)
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|f'(x0)|<=l
因此
|f(x1)-f(x2)|<=l|x1-x2|

Answer 2

拉格朗日中值定理要求开区间可导但是连续不一定可导