求解常微分方程需要用到特征方程。
步骤如下，请采纳。
特征方程
2r^2+5r=0.
r=0,r=-5/2.
所以齐次通解为y=C1+C2e^(-5/2).
设特解是y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d.
y''=12ax^2+6bx+2c.
代入原方程得.
2(12ax^2+6bx+2c)+5(4ax^3+3bx^2+2cx+d)=5x^2-2x-1.
整理得
20ax^3+(24a+15b)x^2+(12b+10c)x+4c+5d=5x^2-2x-1.
比较系数得
20a=0.
24a+15b=5.
12b+10c=-2.
4c+5d=-1.
解得a=0,b=1/3,c=-3/5,d=7/25,e=C.
因此特解是y=1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C.
所以通解为.
y=C1+C2e^(-5/2)+1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C.
步骤如下，请采纳。
特征方程
2r^2+5r=0.
r=0,r=-5/2.
所以齐次通解为y=C1+C2e^(-5/2).
设特解是y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.
y'=4ax^3+3bx^2+2cx+d.
y''=12ax^2+6bx+2c.
代入原方程得.
2(12ax^2+6bx+2c)+5(4ax^3+3bx^2+2cx+d)=5x^2-2x-1.
整理得
20ax^3+(24a+15b)x^2+(12b+10c)x+4c+5d=5x^2-2x-1.
比较系数得
20a=0.
24a+15b=5.
12b+10c=-2.
4c+5d=-1.
解得a=0,b=1/3,c=-3/5,d=7/25,e=C.
因此特解是y=1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C.
所以通解为.
y=C1+C2e^(-5/2)+1/3x^3-3/5x^2+7/25x+C.
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