先规定讨论的前提,f(x)的定义域为D,x0∈D,
研究函数y=f(x)在x0处的二阶导为0或二阶导不存在情况:
若f''(x0)=0,或在x0处二阶导不存在那么x0可能是曲线的拐点.
即f''(x0)=0,或在x0处二阶导不存在是x0为拐点的必要条件。
f(x)=x^3,f'(x)=3x^2,f''(x)=6x,
f''(x)=0得x=0,
x<0时,f''(x)<0曲线为凸曲线
x>0时, f''(x)>0曲线为凹曲线,
∴x=0为f(x)的拐点。
2. f(x)=x^4,f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2
f''(x)=0得,x=0,但f''(x)≥0,
所以x=0不是f(x)的拐点。
3. y=x^(1/3)
y'=1/3*x^(-2/3)
y''=-2/9*x^(-5/3)
x=0时,一阶导和二阶导均不存在,
x<0时, y''>0,曲线凹,
x>0时,y''<0,曲线凸
x=0是,曲线拐点。