答:本题意在对f(x)=1/(1-X)在X=0处展开为泰勒公式形式.
根据泰勒公式,需要首先分别求出该函数在第i阶的导数在X0=0处的值,i=1,2,3,...,n,...带入展开式即可(这一步一般可以观察出规律)
以i=1为例,1/(1-X)的一次导数为1/(1-X)²,在X=0处导数值为1,所以这一项泰勒展开系数为f'(0)/1!=1;
以i=2为例,1/(1-X)的二次导数为2/(1-X)³,在X=0处导数值为2,所以这一项泰勒展开系数为f'(0)/2!=1;
......
可以观察出展开每一项系数均为1.
于是1/(1-X)的泰勒展开式为1+X+X^2+…………+X^n+o（X^n）(最后的加号后边是配亚诺余项).
扩展资料
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
其条件是函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数.
如果条件成立,则对闭区间[a,b]上任意一点x有泰勒展开成立,该多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x0)是泰勒公式的余项，是(x-x0)^n的高阶无穷小。
泰勒公式:f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x).
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.另外,带Peano余项的Taylor公式可以反复利用洛必达法则来推导，泰勒公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。
泰勒公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等.
参考资料 百度百科-泰勒公式