（I）①证明两角和的余弦公式C （α+β） ：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C （α+β） 推导

Question

（I）①证明两角和的余弦公式C （α+β） ：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C （α+β） 推导两角和的正弦公式S （α+β） ：sin（α+β）= sinαcosβ+cosαsinβ；（Ⅱ）已知 。

Answer 1

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P 1 ，终边交⊙O于点P 2 ；角β的始边为OP 2 ，终边交⊙O于点P 3 ，角-β的始边为OP 1 ，终边交⊙O于点P 4 。则P 1 （1 ，0） ，P 2 （cosα，sinα），P 3 （cos（α+β），sin（α+β）），P 4 （cos（-β），sin（-β））。由P 1 P 3 = P 2 P 4 及两点间的距离公式，得 [ cos(α+β)-1] 2 +sin 2 （a+β）=[cos（-β）-cosα] 2 + [ sin（-β）-sinα] 2 ，展开并整理，得2-2cos（α+β）=2- 2（cosαcosβ- sinαsinβ） ∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； ②由①易得                                    =sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

（Ⅱ） 。