已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2^x+a,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是？

Question

如题所述

Answer 1

答：

f(x)是定义在R上的奇函数：
f(0)=0
f(-x)=-f(x)

当x>0，f(x)=2^x +a>=1+a
当x<0时，-x>0代入上式有：f(-x)=2^(-x)+a=-f(x)
所以：x<0时，f(x)=-2^(-x)-a<=-1-a
因为：f(x)是R上的单调函数，
x>0时，f(x)是单调递增函数，则f(x)是R上的单调递增函数
所以：
1+a>=0>=-1-a
所以 ：a>=-1

Answer 2

解由题知f(x)是定义在R上的奇函数
则当x=0时，f（0）=0
当x＜0时，
则-x＞0
由当x>0时,f(x)=2^x+a
则f（-x）=2^(-x）+a............................(*)
又由f（-x）=-f（x）
则（*）式变为
-f（x）=2^(-x）+a
则f（x）=-2^(-x）-a
由当x>0时,f(x)=2^x+a
知f（x）在x属于（0，正无穷大）是增函数
又由f（x)是奇函数
则f（x）在x属于R上都是增函数
则2^0+a≥0≥-2^(-1)+a
即1+a≥0≥-1/2+a
即a≥-1且a≤1/2
即-1≤a≤1/2
故实数a的最小值是-1.