高中数学导数问题

Question

设函数f(x)=ln(x+a)－x^2 1）若a=0,求f(x)在（0，e]上的最大值 2）若f(x)在区间[1,2]上存在减区间，求实数a的取值范围 3）若直线y=x为函数f(x)的图像的一条切线，求a值

Answer 1

解:
(1)f'(x)=1/(x+a)+2x
依题意有f'(-1)=0,即a=3/2
故f(x)=ln(x+3/2)+x^2
从而f'(x)=(2x^2+3x+1)/(x+3/2)=(2x+1)(x+1)/(x+3/2)
f(x)定义域为(-3/2,+无穷).
当-3/2<x<-1时,f'(x)>0;
当-1<x<-1/2时,f'(x)<0;
当x>-1/2时,f'(x)>0.
故f(x)分别在区间(-3/2,-1)、(-1/2,+无穷)上单调递增;
在区间[-1,-1/2]上单调递减.

(2)f(x)的定义域为(-a,+无穷),
f'(x)=(2x^2+2ax+1)/(x+a)
其中2x^2+2ax+1=0的判别式:4a^2-8
(i)判别式小于0,即: -根2<a<根2,在f(x)定义域内f'(x)>0,故f(x)无极值.
(ii)若判别式等于0,则a=士根2.
若a=根2,x属于(-根2,+无穷),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x+根2)
当x=-(根2)/2时,f'(x)=0
当x属于(-根2,-(根2)/2)U(-(根2)/2,+无穷)时,f'(x)>0,故f(x)无极值.
若a=-根2,x属于(根2,+无穷),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x-根2)>0,f(x)也无根值.
(iii)若判别式大于0,即a>根2,或a<-根2,则2x^2+2ax+1=0有两个不同实数根
x1=[-a-根(a^2-2)]/2,x2=[-a+根(a^2-2)]/2
当a<-根2时,x1<-a,x2<-a,从而f'(x)在f(x)的定义域内没有零点,故f(x)无极值.
当a>根2时,x1>-a,x2>-a,f'(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,由极值判别式方法知f(x)右x=x1,x=x2取得极值.

综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为(根2,+无穷).
f(x)的极值之和为:
f(x1)+f(x2)
=ln(x1+a)+x1^2+ln(x2+a)+x2^2
=ln(1/2)+a^2-1
>1-ln2
=ln(e/2).

Answer 2

我想额外说的是，此答案第二问为恒成立问题，而你问的是能成立问题。注意区分。需要的话请采纳我给你解答～谢谢

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