讨论x的取值范围
①当x=0时,不等式2f(x)+xf'(x)>x^2为2f(0)>0,即f(0)>0;
②当x>0时,不等式2f(x)+xf'(x)>x^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)>x^3>0,
即[x^2f(x)]′>x^3>0,可得x^2f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
根据单调性定义,有x^2f(x)>0,又x^2>0,故当x>0时,f(x)>0;
③当x<0时,不等式2f(x)+xf'(x)>x^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)<x^3<0,
即[x^2f(x)]′<x^3<0,可得x^2f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
根据单调性定义,有x^2f(x)>0,又x^2>0,故当x<0时,f(x)>0.
综合①②③可知,在R上f(x)>0恒成立,故选A
参考资料:http://blog.163.com/dxtcdp@126/blog/static/7956860120096291629923/