这个题的思路是先证明r(A)>=2,再证r(A)<=2,最后推出r(A)=2
1,先看头2个方程系数,随便选一组系数,比如X1和X2的系数(1,1),其行列式不为零。
4 3
所以,系数矩阵有2阶子式不为零,即r(A)>=2
2,非齐次方程组有3个无关解。我们不妨设a1,a2,a3
有Aa1=b,Aa2=b,Aa3=b
互相减一下,有A(a1-a2)=0,A(a1-a3)=0,这时a1-a2,a1-a3就是系数矩阵的2个解
由于a1,a2,a3无关,所以a1-a2,a1-a3也无关,即系数矩阵最少有2个无关解(a2-a3是否与前2个相关暂无法证明)即r(A)<=n-2=2
然后由夹挤定理r(A)=2
追问谢谢!就是还有一个地方不明白,至少有2个无关解,为什么可以推出r(A)<=n-2=2 ?
追答首先你要知道无关解个数和系数矩阵的关系
设系数矩阵A为n阶
无关解个数=n-r(A)
这个你当定理记下来就好,证明很麻烦,做题都不用证
最少2个无关解 =》 n-r(A)>=2
纯手打,没问题的话请给最佳