二次函数f(x)=px^2+qx+r，中实数pqr满足p/(m+2)+q/(m+1)+r/m=0

Question

其中m〉0，求证(1)pf(m/m+1)〈0
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解

Answer 1

二次函数f(x)=px�0�5+qx+r中，p,q,r∈R，且p/(m+2)+q/(m+1)+r/m=0其中，m>0，求证:
1、pf[m/(m+1)]＜0；2.f(x)=0在(0,1)内恒有解

(1)∵p/(m+2)+q/(m+1)+r/m=0
--->p�0�5m/(m+2)+pqm/(m+1)+pr=0
--->pqm/(m+1)+pr=-p�0�5m/(m+2)
--->pf[m/(m+1)]
　= p[p[m/(m+1)]�0�5+pq[m/(m+1)]+pr
　= [pm/(m+1)]�0�5 - p�0�5m/(m+2)
　= p�0�5m[m/(m+1)�0�5-1/(m+2)]
　= p�0�5m[m(m+2)-(m+1)�0�5]/[(m+2)(m+1)�0�5]
　= -p�0�5m/[(m+2)(m+1)�0�5]
　＜0

(2) ∵f(0)=r, f(1)=p+q+r，令m/(m+1)=t∈(0,1)
--->p＞0时，由(1)--->f(t)＜0
　　　　若r＞0--->f(0)＞0,f(t)＜0--->f(x)=0在(0,t)内有解；
　　　　若r≤0--->f(t)＜0
　　　　　　　　　f(1)=p+q+r
　　　　　　　　　　　=p-(m+1)[p/(m+2)+r/m]+r
　　　　　　　　　　　=p/(m+2)-r/m≥0--->f(x)=0在[t,1)内有解 综上：f(x)=0在(0,1)内恒有解 p＜0时，同理可证。