三角函数两角和公式推导

Question

急急急急急急急急急急

Answer 1

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA � cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) � cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 三倍角公式 sin3a=3sina-4(sina)^3 cos3a=4(cosa)^3-3cosa tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) � tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 其它公式 a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 双曲函数 sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

Answer 2

（1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

（2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，

根据两点间的距离公式推导：

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。

则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。

∵ OA=OB=OC=OD=1

∴ CD=AB。

∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；

=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；

=2-2 cos（α+β）。

AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；

=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；

=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ

∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β）

=cos[（90°-α）+（-β）]

=cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）

=sinαcosβ+cosαsinβ；本回答被网友采纳

Answer 3

两角和公式：
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA �
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) �
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

Answer 4

正弦、余弦的和差化积公式
　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式
　　sin
α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　sin
α-sin
β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
　　cos
α+cos
β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
　　cos
α-cos
β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
【注意右式前的负号】　
　
　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
　　法1　sin
α+sin
β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　
因为
　　sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β，
　　sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β，
　　
将以上两式的左右两边分别相加，得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin
αcos
β，
　　设
α+β=θ，α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2,
β=（θ-φ）/2
　　把α，β的值代入，即得
　　sin
θ+sin
φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
　　法2
　　根据欧拉公式，e
^Ix=cosx+isinx
　　令x=a+b
　　得e
^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
　　sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa
正切的和差化积
　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）
　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
　　∴等式成立
注意事项
　　在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
　　口诀
　　正加正，正在前，余加余，余并肩
　　正减正，余在前，余减余，负正弦
　　反之亦然
　　生动的口诀：（和差化积）
　　帅+帅=帅哥
　　帅-帅=哥帅
　　哥+哥=哥哥
　　哥-哥=负嫂嫂
　　反之亦然

Answer 5

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ