函数有极限一定有界吗？

Question

如题所述

Answer 1

有极限就一定有界。

回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε

证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）

有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|

取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }

则我们会发现，所有的 |xn|<M，（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）

因此{xn}有界。

扩展资料：

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如

Answer 2

不，函数有极限并不一定意味着它在整个定义域内都是有界的。
有极限意味着函数在某个特定点或趋近某个特定值时，趋近于一个有限的值。但函数在其他地方仍然可能变化很大，甚至可以是无界的。

举个例子，考虑函数 f(x) = 1/x，在 x=0 处有一个极限，即极限为正无穷。但是，如果你考虑这个函数在定义域的其他部分，比如 x>1 或 x<-1，它是有界的，因为它在这些区间内的值都在某个有限的范围内。

因此，函数有极限不一定说明它在整个定义域内都有界。函数的有界性与极限的存在是两个不同的概念，需要单独考虑。有些函数在某些点上有极限但在其他点上可能是无界的，反之亦然