牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,则
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式, 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式,于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法,大大简化了定积分的计算过程。
展开成洛朗级数的方法:
比如,f(z)=1/[z·(z-1)²]
求:1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域:0<|z|<1内展开成洛朗级数:
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以,res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域:0<|z-1|<1内展开成洛朗级数:
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以,res[f(z),1]=-1
扩展资料:
应用:
能计算以下三种定积分:
∫(0→2π) R(cosθ,sinθ) dθ、各种三角函数
∫(-∞→+∞) Q(x)/P(x) dx,其中Q(x)的次数至少比P(x)高二次、各种有理数
∫(-∞→+∞) R(x)cos(ax) dx 与 ∫(-∞→+∞) R(x)sin(ax) dx、各种有理数与三角函数的乘积
利用留数定理,可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分,然后利用留数定理计算,从而大大简化计算过程。
参考资料:百度百科-留数