平时,我们说“证明XXX”,通常蕴含了“XXX为真”的意思。比如,日常会话中,我可以说:“我的学生证能证明我是大学生”。这种语境下,我的话里蕴含了“我真的是大学生”。
然而,数学上,“证明”仅强调一定条件下命题之间的逻辑蕴含关系。
比如,实数域上,我们可以说“用 x³ -1=0 能证明 x=1”。
同时,我们也能说“用 x=1 能证明 x³ -1=0”。
这两个句话都没有说x = 1为真或是x³ - 1 = 0为真,仅仅是给出了命题之间的逻辑关系!
同理,当数学上说“用皮亚诺公理证明「1+1=2」”的时候,完全没有“「1+1=2」为真”的意思,仅仅是说“用皮亚诺公理能够推导出1+1=2而已”。