设函数y=y（x）由方程e^y+xy=e所确定，求y’（0）

Question

如题所述

Answer 1

两边对 x 求导数，得 y ' *e^y+y+xy '=0 ，
在原方程中令 x=0 可得 y=1 ，
因此，将 x=0 ，y=1 代入上式可得 y '+1=0 ，
即 y '(0)= -1 。追问

对x求导时y可以当成一个常数吗？
为什么要用公式（uv）'=u'v+uv'?

追答

题中说了，y 是 x 的函数，不能当成常数 。

e^y 在求导时，先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数（复合函数求导）。

最后结果求错了。应该是 e*y '+1=0 ，所以 y '(0)= -1/e 。

Answer 2

隐函数求导
一次全导,y'*e^y+xy'+y=0
=>
y'=-y/(e^y+x)
两边再取全导
y''*e^y+(y')^2*e^y+xy''+y'+y'=0
(e^y+x)*y''+e^y*(y')^2+2y'=0
x=0,y(0)=1,y'(0)=-e^(-1),
e*y''(0)+e*e^(-2)+2[-e^(-1)]=0
ey''(0)=-e^(-1)+2e^(-1)=e^(-1)
=1/e
y''(0)=1/e^2