第六章 数学教育的基本理论
• [荷]H.Freudenthal(1905-1990)
• [美]G.Polya(1887-1985)
• [瑞]J.Piaget(1896-1980)
• [美]D.P.Ausubel
• [美]B.J.Bloom
§6.1 Freudenthal数学教育理论
• 代表作《作为教育任务的数学》
• 数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）:
——情景问题是教学的平台
——数学化是数学教育的目标
——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分
——“互动”是主要的学习方式
——学科交织是数学教育内容的呈现方式
何谓数学教育中的现实
• 数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”
• 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实
• 例题生活化，问题情境化
运用“现实的数学”进行教学
• 第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结
• 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式
• 第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识
什么是数学化
• 人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化
• 数学教学即是数学化的教学
• 抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化
• 数学化的形式：实际问题转化为数学；从符号到概念的数学化
• 基本流程P168
数学学习的“再创造”
• 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。
• 数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径
§6.2 Polya的解题理论
• 代表著作《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想》
• “每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”——范.德.瓦尔登
• 中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”——有目的的思考、产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维
• 学习最好途径是自己去探索、亲自去发现它
• “怎样解题表”——例1（P171~173）
§6.3 建构主义的数学教育理论
• 什么是数学知识
• 数学学习的方式:复制式和建构式
• 建构主义观下的数学学习的主要特征:
——由学生自己建构知识的过程，别人无法替代
——学习是根据经验主动地意义地建构
——对新知重新编码，建构自己的理解
• 理解\情境\问题\反思\建构
建构主义教学原理的应用举例
• [美]杜宾斯基，等，在数学教育研究实践中发展起来的一种APOS理论（以函数概念为例）
• 传统数学概念教学的步骤：概念的明确（定义、名称、符号）；分类；巩固；应用与联系
• 数学概念具有过程-对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示概念的形成过程，从现实原形、抽象过程、思想指导、形式表达等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理
APOS理论（以函数概念为例）
• Action（活动）阶段：理解函数需要活动或操作。通过操作活动，理解函数的意义
• Process（过程）阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程。x x2， x
• Obiect（对象）过程：把函数过程当作一个独立的对象来处理。函数的加减乘除、复合运算
• Scheme（图式）阶段：函数概念以一种综合的心理图式存于大脑，形成知识的体系（完整）。
APOS理论（以代数式概念为例）
• 代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算
• A：通过运算活动理解具体的代数式
• P：体验代数式的过程
• O：对代数式的形式化表述
• S：建立综合的心理图式。学生头脑中建立代数式的心理表征：具体实例，运算过程，字母表示一类数的数学思想，代数式的定义，能运用
§6.4 我国的“双基”数学教学
• “双基”教学理论—以重视逻辑演绎为主要特征：
• 1.运算速度
• 2.识记知识
• 3.适度形式化
• 4.变式训练
• “双基”数学教学策略:问题引入,师生互动,巩固练习.启发式;精讲多练;小步走,小转弯,小坡度;大容量,快节奏,高密度
•
• 研究发扬我国传统的“数学双基”， 但是警惕“基础过剩”。明确“继承传统”。民族的也是国际的。
• 改革应从表面进入本质。 清醒地认识《标准》和教材中的问题。摆好“一般教育理念”和“数学教育规律”的关系。“返璞归真”， 揭示数学本质
• 积累大量的数学教学经典案例。调动、尊重自下而上的改革积极性。 保护版权， 尊重创造。
中国“双基”数学教学的框架
5层 目标层： 数学观念、思维方式、数学方法
4层 发展层
数学建模; 研究性学习; 数学文化思考；反思质疑； 开放式教学； 题型改革……
3层 “双基”层
双基的现状（数量分析）； 双基的界定； 在《标准》中的地位……
2层 教学经验
“返璞归真”； “精讲多练”； 变式练习；逻辑辨析； 应试训练……
1层 文化背景
“稻作文化”； “儒家文化”； “考试文化”；“考据文化”；“ 熟能生巧”
数学建观构的基本原则
• （1）主体原则：学生是数学学习活动的主体
• （2）适应原则：教师应该从学生的现实出发
• （3）建构原则：学生从原有的经验世界中建构
• （4）主导原则：教师是数学建构活动的设计者、参与者、指导者和评估者
• （5）问题解决原则
建构主义学习观的主要论点
• （1）知识并不能简单地由教师传授，而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构；
• （2）建构活动是学生个体相对独立的创造性活动和教师与学生组成的“学习共同体”中交流互动过程的结合；
• （3）数学知识的学习过程是一个“意义赋予”的过程，同时又是一个“文化继承”的过程（理解的过程）。
建构主义教学观的主要论点
• 教师不应被看成是“知识的授予者”，而应该是学生学习活动的促进者；
• 对传统教学法设计理论提出严重挑战(彻底否定)
• 数学教师对“什么是数学？”和“应该怎样去从事数学研究”的观念对教学观有直接和重要的影响；
• 不唯一着眼于结论，而是更加注重过程的分析；
• 变“问题解决”为“数学地思考”，并以此为中心。
建构主义教学观下的“双基”教学
• 准确把握建构主义数学教育观，促进数学“双基”教学科学有效地进行：
• 第一，学生的学习与教师的教学是一个统一的过程，学习观和教学观应作为一个整体看待；
• 第二，数学基本技能在数学学习过程中有着特别重要的意义；
• 第三，教师应该树立正确的“学生观”，“吃透两头”（教材和学生）：宽容、适应、珍重、创造
• 第四，教师的中心任务是“围绕主题，精心设计”。
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