大一微积分，书上说间断点左右导数存在且相等，则该点可导。那么该点导数值又是多少呢？

Question

如题所述

Answer 1

别乱说，间断点处不可能同时有左右导数，至少其中一个不存在。所以也就不可能左右导数相等了。
所以不可能有任何书上说间断点处左右导数相等的话。
间断点的特点就是极限值不等于函数值。
看看导数的定义公式lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
当函数在x0点无定义的时候，f（x0）这个部分无意义，所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）无法计算，没有导数。
当x=x0点处有定义，但是lim（x→x0）f（x）≠f（x0）的话
那么lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]≠0
那么lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）这个极限分子的极限不为0，分母的极限为0，极限是∞，没有极限，导数不存在。
所以间断点一定没有导数，也不可能左右导数都存在，至少其中一个会不存在。

估计书上说的是分段函数的分段点，被你理解为了间断点了。追问

抱歉，是我理解错了

那请问一下这个的一阶导在x=0处导数值怎么求？

追答

这不是间断点，是分段函数的分段点。
首先你这个φ（x）是啥玩意，有什么性质你要告诉我。
这类题目，先看是否连续，就是看lim（x→0）f（x）是否等于a
如果即lim（x→0）[φ（x）-cosx]/x是否等于a
如果不连续，那么当然不可导。
如果证明了是连续的，直接用求导的定义公式
lim（x→0）[f（x）-f（0）]/x
=lim（x→0）[f（x）-a]/x
=lim（x→0）{[φ（x）-cosx]/x-a}/x
=lim（x→0）{[φ（x）-cosx-ax]/x}/x
=lim（x→0）[φ（x）-cosx-ax]/x²
看看这个极限式子有没有极限，有极限就可导，没极限就不可导。
就这个题目，一般不需要分别求左右导数，可以直接用定义公式求导数。

追问

追答

追问

十分感谢