大学线性代数几个小问题

Question

请高手给出绝对准确的解释:1.下列几个命题是否等价?(1)矩阵a满秩<=>a可逆 <=>a行列式不为零 <=>作为系数矩阵的方程无基础解系<=>n=r所以方程组如果有解的话就只有一个解(2)矩阵a降秩<=> a不可逆<=> a行列式为零<=> a作为系数矩阵的方程的基础解系有n-r个解向量,对应的特征向量张成的子空间是n-r维,几何重数是n-r 2.n阶矩阵的代数重数的和是否一定等于n 3.不同特征值对应的特征向量线性无关,同一特征值对应的所有特征向量里面只有几何重数个是线性无关的,其他都是线性相关的 正确否? 4.P'AP=对角阵 P由A的所有线性无关的特征向量组成,那个对角阵的对角线元素就是对应的特征值 真确否

Answer 1

太专业了。我来说说，放心绝对准确：1、（1）如果是方阵，这些都是等价的。不过我要指出的是，无基础解系那里应该指明是齐次线性方程组才对。但是，这些概念是个有应用范围的。满秩，分为行满秩和列满秩。如果不是方阵那么没有可逆之说，行列式也没有了。但是作为系数矩阵的时候要看左乘还是右乘，行满秩矩阵右面作为系数矩阵的时候，列满秩矩阵作为左面的系数矩阵的时候方程组有解时只有唯一解。否则不成立。（2）首先在特征向量之前的东西是对的，只是要注意一点，如果不是方阵，要根据我前面说的去掉可逆和行列式的部分了。我觉得有个概念要澄清一下，特征向量的重数和矩阵的秩没有对大关系，只能说如果特征值都不为零，则满秩；如果不满秩必有零特征值。除此之外，没有必然联系。我给你看两个矩阵，他们的秩不相同，但是特征值的代数重数相同：要知道，特征向量是和特征值相关联的，因此特征向量的几何重数和矩阵的秩的关系也不大。我估计你弄混淆了概念：特征值，特征向量和特征矩阵的秩有关。也就是说，A的特征值，特征向量，和（也有的教材中用）的秩有关，如果特征矩阵的秩为r那么这个特征值的代数重数未必是n-r ,但是几何重数一定是n-r. 代数重数在这个秩上看不出来。2,代数重数是指在特征多项式中的重数，由于特征多项式一定是n次的，所以所有代数重数之和当然是n。3。作为特征向量形成特征子空间，我们说的几何重数，实际上是这个特征子空间的维数。我们知道，为数固定的线性空间的基不惟一。因此，可以找到n-r个线性无关，但是除了这n-r个之外，还可以找到另外的一组基，所以，说其它的都线性相关是不对的。4。当然了，相似变换就是要把矩阵化成对角线上是特征值的对角矩阵。因为几何重数未必等于代数重数，所以对角化不是每个矩阵都可以实现。