已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1

Question

1）求f（x）的解析式 （非特殊值或带入准确值的方法）
2）求函数f（x）的零点，并写出f（x）<0时x的取值范围

Answer 1

f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)=ax^2-2ax+a+bx-b
f(x-1)=ax^2+x(b-2a)+(a-b)
f(x)+x-1=ax^2+bx+x-1
f(x)+x-1=ax^2+x(b+1)-1
f(x-1)=f(x)+x-1
ax^2+x(b-2a)+(a-b)=ax^2+x(b+1)-1
b-2a=b+1
a=-1/2
a-b=-1
b=1/2
(1)f（x）的解析式=(-1/2)x^2+(1/2)x
f(x)=(-1/2)x^2+(1/2)x=0
X(x-1)=0
（2）x=0 x=1为X零点
f（x）<0
(-1/2)x^2+(1/2)x<0
x(x-1)>0
(3)x的取值范围:
x>0 x>1 ,取x>1
x<0 x<1 取x<0
x的取值范围:x<0,x>1