设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4。

Question

证明过程
最好是图片

Answer 1

x^2+px+q=0的两根记为x1,x2
则|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=p^2-4q
x^2+qx+p=0的两根记为x3,x4
则|x3-x4|^2=(x3+x4)^2-4x3x4=q^2-4p
由题意，有p^2-4q=q^2-4p
p^2-q^2+4p-4q=0
(p-q)(p+q+4)=0
p-q=0, 或p+q+4=0
得p=q,或p+q=-4

Answer 2

x^2+px+q=0的两根为x1, x2
则|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(p^2-4q)
同理
x^2+qx+p=0的两根为x3,x4
则|x3-x4|=√(q^2-4p)
所以有;p^2-4q=q^2-4p
p^2-q^2+4(p-q)=0
(p-q)(p+q+4)=0
得p-q=0或p+q+4=0
即p=q或p+q=-4
请采纳答案，支持我一下。

Answer 3

证明：设x²+px+q=0的两根为a 、b （其中a ≥b），x²+qx+p=0的两根为c、d，（其中c≥d）。
a-b=c-d
根据韦达定理：
a+b=-p
a·b=q

c+d=-q

c·d=p
a-b=√[（a+b）²-4ab] =√[(-p)²-4q]=√[p²-4q]
同理
c-d=√[q²-4p]
即q²-4p=p²-4q
q²-p²=（q+p）（q-p）=4（p-q）
即
p＝q或p＋q＝－4

Answer 4

设方程1的两个根为a和b，由韦达定理知a+b=-p，ab=q，设方程2的根为c和d，同理可得c+d=-q，cd=p，

因其两根之差相等，故有p^2-4q=q^2-4p

变形可得（p+2)^2=（q+2)^2

故的p=q或p+q=-4