设方程x^2+px+q=0的两根之差等于方程x^2+qx+p=0的两根之差，求证p=q或p+q=-4

Question

如题所述

Answer 1

x^2+px+q=0的两根为x1,
x2
则|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(p^2-4q)
同理
x^2+qx+p=0的两根为x3,x4
则|x3-x4|=√(q^2-4p)
所以有;p^2-4q=q^2-4p
p^2-q^2+4(p-q)=0
(p-q)(p+q+4)=0
得p-q=0或p+q+4=0
即p=q或p+q=-4