设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量，证明 1.A^2=A的充要条件是a^T*a

Question

设n阶矩阵A＝E-a*a^T,其中a是n维非零列向量，证明

1.A^2=A的充要条件是a^T*a=1

2.当a^T*a=1时，A是不可逆矩阵

Answer 1

A^2=A

<=> (E-aa^T)^2 = E-aa^T

<=> E - 2aa^T + aa^Taa^T = E-aa^T

<=> -aa^T+(a^Ta)aa^T=0

<=> (a^Ta-1)aa^T=0

<=> a^Ta=1

2.

a^Ta=1 时 A^2=A

假如A可逆, 则有 A=E

所以 aa^T=0

与a是非零向量矛盾

所以 A 不可逆