数学高一急救

Question

已知函数f(x)=（x²+2x+a）/ x，x∈[1，+∞)．（1）当a=1/2时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性

Answer 1

解答：
函数f(x)=（x²+2x+a）/ x，x∈[1，+∞)
∵a=1/2
∴ f(x)=(x²+2x+1/2)/x=x+2+1/(2x)
则f(x)在[1，+∞）上是增函数
证明如下：
在[1，+∞）上任取x1,x2,设x1<x2
∴ f(x1)-f(x2)
=[x1+2+1/(2x1)]-[x2+2+1/(2x2)]
=(x1-x2)+1/(2x1)-1/(2x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(2x1*x2)
=(x1-x2)*[1-1/(2x1x2)]
=(x1-x2)*(2x1*x2-1)/(2x1x2)
∵ 1≤x1<x2
∴ x1-x2<0, 2x1*x2-1>0, 2x1x2>0
∴ (x1-x2)*(2x1*x2-1)/(2x1x2)<0
∴ f(x1)-f(x2)<0
∴ 1≤x1<x2时，f(x1)<f(x2)
∴ f(x)在[1，+∞）上是增函数追问

答案是这样写的，但我不知道f（x）是怎门化到f‘（x）的。求高手帮我看一下

追答

你没搞错吧，采纳别人追问我，你怎么想的？

Answer 2

解：
因为a=1/2
所以f(x)=(x²+2x+1/2)/x
=[(x+1)²-1/2]/x
因为定义域为[1,+∞)
所以可以知道(x+1)²-1/2≥7/2
所以分子为增函数
又因为分母为x∈[1,+∞)
所以分母也为增函数
因此函数整体也为增函数

不懂可追问，满意请采纳，谢谢！

Answer 3

不难
直接把a换成1/2；
然后化简f（x）；
即等于：f（x）=x+2+1/2x；
又因为：x属于1到无穷大
那不管怎样f（x）都是随着x的增加而加大的
所以是递增的

Answer 4

a=1/2，f(x)=(x²+2x+1/2)/x=x+2+1/2x=x+1/2x+2
令1≦x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/2x1+2-(x2+1/2x2+2)
=x1-x2+1/2x1-1/2x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1-x2)(1-1/2x1x2)
=(x1-x2)(2x1x2-1)/2x1x2
因为1≦x1<x2
所以，x1-x2<0，x1x2>1>0
则：2x1x2-1>0
所以，f(x1)-f(x2)<0
即1≦x1<x2时，有f(x1)<f(x2)
所以，f(x)在[1，+∞）上是单调递增的。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O追问

答案是这样写的，但我不知道f（x）是怎门化到f‘（x）的。求高手帮我看一下

追答

这不是高一的方法，高一还没学f'(x)呢~~

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Answer 5

单调递增。a=1/2时，原函数变为f(x)=（x²+2x+1/2）/ x ，此时可将函数看为两部分，一部分为f(x)1=（x+1）²-1/2；f(x)2=x ；易证 f(x)1在[1，+∞）上为增函数，f(x)2在[1，+∞）上也为增函数，故原函数在[1，+∞）上为单调递增函数。