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一道高等数学常微分应用题,求高手解答!急!!
设P(x,y)是连接A(1,0)和B(0,1)两点的一条向上凸曲线上的任意一点,已知曲线与弦AP之间的面积为x^3,求此曲线的方程。
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推荐答案 2012-12-29
解:(1)∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,
∴点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为x2=4y.
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k),
代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,(*)
△=16(k2-2k+2)>0对k∈R恒成立,
所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点,
设交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=8(k-1),
∵|AB|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
(1+k2)[(x2+x1)-4x2x1]
=4
(1+k2)(k2-2k+2)
,
点O到直线m的距离d=
|2-2k|
1+k2
,
∴S△ABO=
1
2
|AB|•d=4|k-1|•
k2-2k+2
=4
(k-1)4+(k-1)2
,
∵S△ABO=4
2
,∴4
(k-1)4+(k-1)2
=4
2
,
∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,
∴(k-1)2=1,或(k-1)2=-2(舍去),∴k=0,或k=2.
当k=0时,方程(*)的解为±2
2
,
若x1=2
2
,x2=-2
2
,则λ=
2+22
22-2
=3-2
2
,
若x1=-2
2
,x2=2
2
,则λ=
2+22
22-2
=3+2
2
,
当k=2时,方程(*)的解为4±2
2
,
若x1=4+2
2
,x2=4-2
2
,则λ=
-2-22
2-22
=3+2
2
,
若x1=4-2
2
,x2=4+2
2
,则λ=
-2+22
2+22
=3-2
2
,
所以,λ=3+2
2
,或λ=3-2
2 .
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其他回答
第1个回答 2012-12-25
“曲线与弦AP之间的面积为x^3”这个是关键
因为曲线向上凸,所以x^3=S曲线aop-S三角形ap
所以 ∫(x,1)f(x)dx-(1-x)f(x)/2=x^3
两边对x求导有,-f(x)-f'(x)/2+f(x)/2+xf'(x)/2=3x^2
再解出微分方程,且f(0)=1即可
本回答被网友采纳
第2个回答 2012-12-25
设面积S(x)=x^3, 曲线方程f(x)
两点式求出直线AB:y=-x+1
S(x)=∫[f(x)-y]dx
即 x^3=∫[f(x)-(-x+1)]]dx
两边求导:3x^2=f(x)-(-x+1)
f(x)=3x^2-x+1
太久没接触过高数了,应该是这样的。。。
第3个回答 2012-12-25
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