这也是一元函数和多元函数的重要区别。
1、首先要明确连续的概念：
对于一元函数y=f(x)，自变量变化dx，函数值就变化dy，存在一个数C，对于区间内任意点，满足|dy|<C|dx|，则函数连续。
对于多元函数，其实自变量就是向量，向量的变化需要用范数（也就是向量的模）也表示。设函数是z=f(x,y)，对于区间内的任意点，存在一个数C，满足 |dz|<C|√(dx²+dy²)|，则函数连续。
这里比较就发现了，一元函数的自变量变化是一维的，而多元函数自变量变化是多维的。一维的话就是x轴方向，多维的话是空间任意方向。
2、现在回到你的问题
一元函数连续，如果导数存在，则这样的数C很容易找到。也就是说，可导必然连续，不连续必然不可导。
对于多元函数，dz=(∂z/∂y)dy+(∂z/∂x)dx，如果偏导数∂z/∂y和∂z/∂x同时存在，则必然连续；但是如果多元函数不连续，并不代表就不存在偏导数，一种可能的情况是偏导数部分存在、部分不存在。典型的代表是 z=1/x，在x=0,y=0处，函数是不连续的，但是偏导数 ∂z/∂y=0(存在)，∂z/∂x=∞(不存在)
总的来说，一元函数的性质不能随便推广到多元函数，就好比平面几何的结论不能随便推广到立体几何来自：求助得到的回答
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