关于组合数的问题？

Question

像C(m，4）中，m取2时，C(m，4）最大（C(,0，4）=1，C(1，4）=4，C(2，4）=6，C(,3，4）=4，C(,,4，4）=1）。那么当在C（m，n）中，求其最大值与最小值？我想要证明过程，我用C（m，n）=n！/（（n-m）！m！）怎么也证不出来。

Answer 1

你应该知道“二项式定理”和“杨辉三角”吧？
　　当n固定时，m取从0到n，得到的一系列组合数，就是n次二项式展开后的系数数列；
　　当n从1开始依次取各个正整数，再将按上述方式得到的组合数数列并排，就得到杨辉三角；
二项式系数的性质早已证明：
　　对称性：对每个n得到的一列系数，以中间系数为基点，两边的系数分别对称；
　　增减性：先增后减，中间最大，两端最小；
所以：
　　最小值：C（0，n）＝C（n，n）＝1；
　　最大值：C（n/2，n）；——n为偶数；
　　　　　　C（（n－1）/2，n）＝C（（n＋1）/2，n）；n——为奇数；

至于你要的证明过程，数学家怎么证的我不知道，但根据公式是可以证明的：
　　C（m，n）=n！/（（n-m）！m！）；
在此，n是常数，n！也就是常数了；所以关键在分母上。
　　关于乘法，有这样一个性质：周长相等的矩形中，正方形的面积最大。其原理就是：
　　　“和固定不变”的两个正数相乘，在两数相等时积最大；
　　类似地，现在我们要讨论阶乘相乘的性质：
　　　和固定不变的两个自然数的“阶乘”相乘，在两数相等（至少是差最小）时积“最小”；
证明：
　　我们都知道，所谓阶乘，就是从1连续乘到这个数。对于（n－m）和m，它们的阶乘的乘积，最终将是n个数的乘积。所以，结果的大小就取决于参与乘法运算的数的大小。
　　设x＝n/2；n固定时，x也固定不变（x可能是小数）；
因为（n－m）＋m≡n，所以在数轴上，这两个数：要么都等于x；要么分别落在x的两侧；
　　那么参与最终的乘法运算的n个数，不管重复与否，必然有的小于x，有的大于x。因为总个数固定，所以：
　　小于x的数越多，大于x的数就越少；反之亦然。
并且不难发现：
　　当m确定时，大于或小于x的数的个数及大小也就确定了；
　　当m不同时，大于x的数的“个数”也必然不同；所以：
　　　　最终乘积的大小，完全取决于大于x的数的个数；——这是解题关键；
设大于x个的数的个数为k；那么不难算出：
　　k≈｜（n－m）－m｜／2＝｜（n／2）－m｜＝｜x－m｜；
用“约等于”是考虑到x为小数时的情况；其实严格来说k应该上述结果“向上取整”，即：
　　结果为整数时，保持不变；
　　结果为小数时，取其整数部分再加1；

不管怎样，上式都证明了以下性质：
　　m与x（即n的中间位置）越接近，最终乘积就越小；反之：
　　m与x越远离，最终乘积就越大；
——这就是阶乘乘法的性质。

　　最后，因为上述阶乘乘积是做“分母”的，所以变化规律恰好反过来：
　　　　m越接近n的中间位置，组合数越大；反之：
　　　　m越接近n的两端位置，组合数越小；追问

"当m不同时，大于x的数的“个数”也必然不同；所以：最终乘积的大小，完全取决于大于x的数的个数"这句话不太懂。能不能详细说一下？为什么m不同，个数不同？为什么与小于x的数的个数无关？

追答

其实我给出的不是严格的证明方法，那需要定义很多符号。我只是给了一个笼统的、直观的证明思路。看下图：

不难看出：

（1）所谓n！其实就是数轴的在以下区间上，各个整数的乘积：

　　蓝色区间＋紫色区间＋绿色区间；——————————————————①

而我们最终所求的y＝m！·（n－m）！；对应的区间则是：

　　2个蓝色区间＋紫色区间；—————————————————————②

因为蓝色区间总是与绿色区间等长，所以我说：

　　①和②中，参与乘积的数字的“总个数”是恒等的。

 

（2）当m≠（n－m）时，它们必然分居x的两侧；因二者对于n是对称的，我们不妨假设m＜（n－m）。而所谓紫色区间的长度，其实就是这两个数的差；所以，当二者相等时，紫色区间消失。

 

（3）m越大（即越靠近x），蓝色区间就越长、紫色区间就越短——而且紫色区间是从两端同时缩短的；比较上面两图：

　　对于我们关心的部分，排除两图都有的区间外：

蓝色区间增加的部分是：［m，m′］；（该区间在图1中出现1次，在图2中出现2次）

紫色区间减少的部分是：［n－m′，n－m］；

　　显然，这两个区间等长；且前者中每个元素都小于x，而后者每个元素都大于x，所以，显然后者的乘积大于前者。即：增加的部分，小于减少的部分；那么：图1对应的最终结果必然大于图2。即：

　　m（以及：n－m）越靠近x，结果就越小。

 

　　我说“当m不同时，大于x的数的“个数”也必然不同”，是指：m变化时，紫色区间必然变化；而这种变化的结果之一就是：大于x的数的变化；

　　我说“最终乘积的大小，完全取决于大于x的数的个数”，这个说法可能不太严格。因为m的变化还会产生第二个结果：小于x的数的变化；——即：蓝色区间的变化；并且这两种变化对乘积的影响总是相反的。

　　但是，由于参与相乘的数不管是增加还是减少，它们的个数总是相等的；而且：大于x的数的变化，对乘积的影响，必然超过小于x的数的影响。所以我的这种说法，从结果上看也没错。

Answer 2

用排队来理解这个问题:
把n个相同的盒子和r个不同的球排队,但第一位必须是盒子
(要知道,我们把球放入盒子中,表示为球必须排在盒子的后面)
n*p(n+r-1,n+r-1);
现在的问题是小球是相同的,我们给小球在做这个方法的时候全排过
结果应该是
n*p(n+r-1,n+r-1)/p(r,r)
=n*c(r-1,n+r-1)
=c(r,n+r-1)