组合数的魅力在于其简洁而深奥的递推关系:</
当从m个不同元素中选择n个进行排列组合时，我们可以通过递推公式来理解这个过程。不包含第m个数时，组合数为C(m-1,n)；而当包含第m个数时，组合数为C(m-1,n-1)。</这两者加起来，就构成了组合数C(m,n)的完整定义。
数量守恒的原理:</ 从m个数中取出n个，剩余的m-n个数的组合方式与原先的n个数的组合数相等，这是组合数的一个基本定理。这表明，无论我们如何选择，总数始终保持不变。
公式间的相互转化:</ 通过变形公式（1），我们可以得到C(m,n)的另一种表达形式，即C(m,n) = C(m-1,n) + C(m-1,n-1)。这一关系揭示了组合数的动态结构。
关于阶乘的巧思:</ 当m为奇数时，C(m,n)的首项和尾项相加为0，这使得某些特定情况下的组合数简化。而对于偶数m，我们可以巧妙地利用替换技巧，如C(m,n) = C(m-1,n-1) + C(m-1,n)。
二项式定理的基石:</ 二项式定理的精髓在于，当我们将变量x提升到m次方时，每一项都可以用组合数来描述。例如，C(m,n) = C(m,n) * x^n * (1-x)^(m-n)</，为我们的计算提供了强大的工具。
数列的拓展:</ 在(m+n)个数中，若我们要取r个数，其中在前m个数中选择i个，后n个数中选择n-i个，其组合数是C(m,i) * C(n,n-i)。将这些组合数相加，就揭示了组合数在更大规模下的规律。
展开式的关键:</ 通过通项公式，我们可以对特定的组合数进行展开，如C(m+n,n) = Σ [C(m,i) * C(n,n-i)]，这是解决许多组合问题的基础。
序列间的关联:</ 类似地，通过仿照（10）的证明思路，我们可以发现另一组序列间的关联，C(m,n) = Σ [C(m-1,i) * C(n-1,n-i)]</，这是对前一个公式的进一步延伸。
特殊情况的揭示:</ 当我们将m设定为n时，公式（9）直接告诉我们C(2n,n) = C(n,n)，这在许多数学问题中都有重要应用。