证明可导函数一定连续，并举例说明连续函数一定可导

Question

如题所述

Answer 1

1.证明可导函数一定连续:
设函数y=f(x)在点x处可导，即limΔy/Δx（Δx趋近于0）=f′（x）存在，由具有极限的函数与无穷小的关系知道，Δy/Δx=f′(x)+α,其中α是当Δx趋近于0时的无穷小，上式两边同乘以Δx得：Δy=f′(x)Δx+αΔx,由此可见，当Δx趋近于0时，y趋近于0.这就是说，函数y=f（x）在点x处是连续的（根据函数连续的定义），所以可导必连续
2.但是需要说明的是连续函数不一定可导，楼主可能打错了吧，在此举例：y=|x|，此函数连续，但是在x=0处不可导。
3.由上面两点可得可导函数比连续函数的要求要高。
不清楚可追问，望楼主采纳

Answer 2

1.证明可导函数一定连续:
设函数y=f(x)在点x处可导，即limδy/δx（δx趋近于0）=f′（x）存在，由具有极限的函数与无穷小的关系知道，δy/δx=f′(x)+α,其中α是当δx趋近于0时的无穷小，上式两边同乘以δx得：δy=f′(x)δx+αδx,由此可见，当δx趋近于0时，y趋近于0.这就是说，函数y=f（x）在点x处是连续的（根据函数连续的定义），所以可导必连续
2.但是需要说明的是连续函数不一定可导，楼主可能打错了吧，在此举例：y=|x|，此函数连续，但是在x=0处不可导。
3.由上面两点可得可导函数比连续函数的要求要高。
不清楚可追问，望楼主采纳