已知单调递增函数:y=f(x)(x∈D,y∈A)试证明其反函数y=f-1(x)也是单调递增函数

如题所述

推荐答案 2012-12-14

单调性是很容易说明的。如果y1,y2∈A，y1 < y2,要证明f-1(y1) < f-1(y2)。
注意到如果y1和y2在值域中，那么存在x1和x2使得f(x1) = y1, f(x2) = y2.又由于f是单调的，所以f是单射，这样的x1和x2是唯一的。于是
f-1(y1) = x1, f-1(y2) = x2。
如果x1 >= x2，那么由f的单调性，y1 >= y2，矛盾。因此只能有x1 < x2。说明f-1是单调的。

不过上面的证明只是对值域中的y1和y2成立。如果没有给f不是连续的，那么值域A可能是一个很奇怪的集合。

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第1个回答 2012-12-14

撒啊是否

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