f(x)在x0处连续,则必有极限值等于函数值,对不对?

Question

如题所述

Answer 1

不对。虽然连续性是确保函数在某点 (x_0) 处存在极限的一个条件，但并不意味着函数在 (x_0) 处的极限一定等于函数在该点的函数值。
连续性的定义是：如果对于任意给定的 (\varepsilon > 0)，存在一个 (\delta > 0)，当 (|x - x_0| < \delta) 时，有 (|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)。这表示在 (x_0) 的某个邻域内，函数值的变化足够小。
极限的定义是：如果对于任意给定的 (\varepsilon > 0)，存在一个 (\delta > 0)，当 (0 < |x - x_0| < \delta) 时，有 (|f(x) - L| < \varepsilon)，其中 (L) 是极限值。这表示在 (x_0) 的去心邻域内，函数值可以无限接近某个值 (L)。
连续性确保了在 (x_0) 处的局部行为，而极限关注的是函数在 (x_0) 附近的全局趋势。
虽然连续函数在某点处的极限值确实等于函数值，但对于一般的函数而言，并不总是如此。例如，可以构造一些函数，在某点处连续但在该点没有极限，或者函数在某点处存在极限但不连续。

Answer 2

这句话是对的，这是函数连续的定义。