二次函数y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，2)，且与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，其中-1<x1<0 1<X2<2

Question

下列结论：①4a+2b+c<0；②2a+b<0；③b^2+8a>4ac；④a<-1。其中正确的有( )A.1个；B.2个；C.3个；D.4个

Answer 1

参考：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2<x1<-1,0<x<1,下列结论那些是对的
4a-2b+c<0 2a-b<0 a<-1 b^2+8a>4ac

二次函数y=f(x)=ax²+bx+c(a≠0）的图像经过点（-1，2），
∴f(-1)=a-b+c=2,b=a+c-2,(*)
它与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中-2＜x1＜-1,0＜x2＜1，
∴a<0,-2<x1+x2<0,-2<-b/a<0,
∴2a<b<0,
∴②2a-b ＜0。
f(-2)=4a-2b+c<0,①。
f（1）=a+b+c<0.⑤
把（*）式分别代入①、⑤，得
2a+4<c<1-a,
∴③a＜-1。
f(0)=c>0,
取满足以上几个式子的a=-1.5,b=-2.3,c=1.2,
④不成立。

Answer 2

解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x=-b2a＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵4ac-b24a＞2，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故选D．

Answer 3

　　你好！很高兴为你解答本题。

　　通过不等式的学习，我们已经了解，在求某个未知量的范围的时候往往要用到搭建桥梁的方法，本题就是一个很好的例子。

证明：

　　将x=-2带入y=ax²+bx+c，观察图像位置得：

　　y（x=-2）=4a-2b+c<0  ①

　　将x=-1带入y=ax²+bx+c，又函数图像过（-1,2）：

　　y  (x=-1)=a-b+c=2  ②

　　观察图像和x轴交点可知点(-1,2)不是顶点

　　∴c<2 ③

　　①-2*②得：2a-c<-4整理得a<-2+(c/2)

　　联系③得：a<-2+(c/2)<-1，得证

 

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