已知椭圆x^2/2+y^2=1,过R（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点

Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1,过R（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆上，求直线l方程

Answer 1

1) 设直线l为y=k(x+2)，代入椭圆，得 x²/2+k²(x+2)²=1，即(2k²+1)x+8k²x+2(4k²-1)=0
设A(x1,y1), B(x2,y2), P(x,y)，则有x1+x2=-8k²/(2k²+1)，x1x2=2(4k²-1)/(2k²+1)
由平行四边形几何关系知，∴有(x1+x2)/2=(x+0)/2
∴x=x1+x2=-8k²/(2k²+1)，同理有y=y1+y2=k(x1+x2+4)=4k/(2k²+1)
上两式消去k，化简得 x²+4x+2y²=0，即为P点轨迹方程
(2) OAPB为矩形，则OA⊥OB，k(OA)*k(OB)=-1
k(OA)=y1/x1, k(OB)=y2/x2
k(OA)*k(OB)=(y1y2)/(x1x2)=[k(x1+2)*k(x2+2)]/(x1x2)
=k²[(x1x2)+(x1+x2)+4]/(x1x2)
=k²[2(4k²-1)/(2k²+1)-8k²/(2k²+1)+4]/[2(4k²-1)/(2k²+1)]
=k²[2(4k²+1)/(2k²+1)]/[2(4k²-1)/(2k²+1)]
=k²(4k²+1)/(4k²-1)
=-1
即 k²(4k²+1)=-(4k²-1)解得k²=(-5+√41)/8，∴k=±√[(-5+√41)/8]
∴存在2条使OAPB为矩形的直线L，方程为y=k(x+2)=±√[(-5+√41)/8]*(x+2)
希望对你有帮助

Answer 2

y=正负根号2（x-1）