已知椭圆方程x2/2+y2=1 直线与椭圆交与AB 且过左焦点F1 三角形ABF2面积为4/3 求直线方程

Question

如题所述

Answer 1

椭圆中 a^2=2，b^2=1 ，因此 c^2=a^2-b^2=1 ，
则左焦点 F1 坐标为（-1，0），|F1F2|=2c=2 ，
设所求直线方程为 x=my-1 ，代入椭圆方程得 (my-1)^2/2+y^2=1 ，
化简得 (m^2+2)y^2-2my-1=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 y1+y2= 2m/(m^2+2) ，y1*y2= -1/(m^2+2) ，
所以 y1*y2<0 ，
且由 (y2-y1)^2=(y1+y2)^2-4y1*y2=4m^2/(m^2+2)^2+4/(m^2+2)=8(m^2+1)/(m^2+2)^2
得 |y2-y1|=√[8(m^2+1)] / (m^2+2) ，
由已知，SABF2=SAF1F2+SBF1F2
=1/2*|F1F2|*|y1|+1/2*|F1F2|*|y2|
=|y1|+|y2|
=|y2-y1|
=√[8(m^2+1)] / (m^2+2)=4/3 ，
解得 m^2=1 ，因此 m=±1 ，
所以，直线方程为 x+y+1=0 或 x-y+1=0 。

Answer 2

F1(-1,0),F2(1,0)
|F1F2|=2c=2
s=(1/2)*|F1F2|*|yA-yB|
4/3=(1/2)*2*|yA-yB|
|yA-yB|=4/3
AB:y=k(x+1)
x=(y-k)/k
x^2/2+y^2=1
[(y-k)/k]^2+2y^2=2
(1+2k^2)y^2-2ky-k^2=0
(yA+yB)=2k/(1+2k^2),yA*yB=-k^2/(12k^2)
(yA-yB)^2=(yA+yB)^2-4yA*yB
(4/3)^2=4k^2/(1+2k^2)^2+4k^2/(1+2k^2)
(k^2+2)*(k^2-1)=0
k^2=1
y=±(x+1)